کتابخانه الکترونیکی ریاضیات رحمانی

آبل، ریاضیدان نروژی بود که در شهر فینوی متولد شد.در سال 1815، او وارد مدرسه کلیسای جامع کریستینا(اسلو امروزی) شد. سه سال بعد نشانه های نبوغ ریاضی در او ظاهر شد در همین زمان پدر او که یک کشیش فقیر بود، درگذشت و خانواده اش را در کمال فقر و بی چیزی، تنها گذاشت اما یک مقرری ناچیز که از پدر به جا مانده بود، اجازه می داد تا آبل وارد دانشگاه کریستینا شود.

اولین کار برجسته او اثبات امکان حل معادلات درجه پنجم بوسیله رادیکال بود. این تحقیق در سال 1824 برای اولین بار منتشر شد. و جزئیات بیشتری از آن در سال 1826 در مجله کرل منتشر گردید. او در سال 1825 به آلمان رفت و در حدود 6 ماه در برلین ماند. و در آنجا با آگوست کرل ریاضیدان آلمانی آشنا شد. او در همین موقع دست به انتشار مجله ریاضی زد، این کار آبل را دلگرم کرد تا دست به یک ریسک برای رسیدن به موفقیت بزند. بنابراین از برلین به فرایبورک رفت و در آنجا به پژوهش در مورد نظریه توابع جبری پرداخت.

در سال 1826 به پاریس رفت و در طول اقامت ده ماهه اش، ریاضیدان برجسته فرانسوی را ملاقات کرد اما (استقبال آنها از کار و پژوهش او، بسیار ناچیز بود. فروتنی و تواضع او باعث شد تا او نتواند به طور گسترده تحقیقات خود را ارائه نماید و به علت بی پولی و نداشتن آزادی عمل نتوانست به موفقیتی دست یابد و سرانجام به نروژ بازگشت. در بازگشت به نروژ مقداری از وقت خود را صرف تدریس در دانشگاه کریستینا کرد. در آوریل 1829 پست استادی برای او در دانشگاه برلین پیشنهاد شد ولی نامه حاوی این مطلب 2 روز بعد از مرگ او به علت سل به مقصد رسید. او در موقع مرگ تنها 26 سال داشت.

آبل کارهای مهمی را در زمینه جبر انجام داد. آبل عهده دار توسعه های اساسی نظریه توابع جبری است و مهمترین کار او نیز همین بود. عبارت آبلین(مانند گروه آبلی در جبر) نیز از نام او گرفته شده است

اعداد فیثاغورسی به سه عددی می‌گویند که مجموع مربع‌های دو تا از آن‌ها برابر با مربع سومی باشد، به بیان دیگر اعداد a و b و c را فیثاغورسی گویند هرگاه a۲ + b۲ = c۲ باشد. اعداد فیثاغورسی ضلع‌های یک مثلث راست‌گوشه را تشکیل می‌دهند. بررسی‌ها نشان داده‌است که بناهایی در شمال اروپا وجود داشته که در آن‌ها از ویژگی اعداد فیثاغورسی استفاده می‌شده‌است و آن‌ها پیش از شناخت این قضیه، از اعداد فیثاغورسی استفاده می‌کرده‌اند و آن‌ها را می‌شناختند. نمونه‌های پرکاربرد این اعداد عبارتند از: (۳، ۴، ۵) و (۵، ۱۲، ۱۳).

در زیر فهرستی از اعداد فیثاغورسی کوچکتر از ۱۰۰ نوشته شده‌است:

(۳، ۴، ۵)،(۶،۸،۱۰)، (۵، ۱۲، ۱۳)، (۷، ۲۴، ۲۵)، (۸، ۱۵، ۱۷)، (۹، ۴۰، ۴۱)، (۱۱، ۶۰، ۶۱)، (۱۲، ۳۵، ۳۷)، (۱۳، ۸۴، ۸۵)، (۱۶، ۶۳، ۶۵)، (۲۰، ۲۱، ۲۹)، (۲۸، ۴۵، ۵۳)، (۳۳، ۵۶، ۶۵)، (۳۶، ۷۷، ۸۵)، (۳۹، ۸۰، ۸۹)، (۴۸، ۵۵، ۷۳)، (۶۵، ۷۲، ۹۷)

تاریخچه عدد صفر

یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.

اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند ۲۱۰۶ عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد ۲۱۶ کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.

هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، … بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.
بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (“) بود. مثلاً عدد۶″۲۱ نمایش دهنده ۲۱۰۶ بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد “۲۱۶ را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.

البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.

البتهبعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت ۰ را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.
هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.

اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .

این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.
بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.
ریاضیات چیست؟

آیا میتوان این علم را در چند جمله معرفی کرد ؟ بدون شک معرفی علوم پایه بخصوص علم ریاضی که ما در همه علوم است، کار بسیار دشواری است. زیرا این علم از یک سو ذهنی و تجریدی و از سوی دیگر عملی میباشد و در نتیجه یک تعریف باید کلی باشد تا بتواند تمام ابعاد دانش ریاضی را در بر بگیرد .برای مثال « آندروگلیسون» ریاضی دان آمریکایی در معرفی این علم می گوید:

«ریاضیات علم نظم است و موضوع آن یافتن ، توصیف و درک نظمی است که در وضعیتهای ظاهراََ پیچیده نهفته است و ابزارهای اصولی این علم ، مفاههیمی هستند که ما را قادر میسازند تا این نظم را توصیف کنیم.»

دکتر دیبایی استاد ریاضی دانشگاه تربیت معلم تهران نیز در معرفی این علم میگوید:

« علم ریاضی، قانونمند کردن تجربیات طبییعی است که در گیاهان و بقیه مخلوقات مشاهده میکنیم.علم ریاضیات این تجربیات را دسته بندی وقانونمند کرده وهمچنین توسعه میدهد.»

ریاضیات علم نظم است و موضوع آن یافتن، توصیف و درک نظمی است که در وضعیت‌های ظاهرا پیچیده‌ نهفته است و ابزارهای اصولی این علم ، مفاهیمی هستند که ما را قادر می‌سازند تا این نظم را توصیف کنیم» .

دکتر دیبایی استاد ریاضی دانشگاه تربیت معلم تهران نیز در معرفی این علم می‌گوید:
«علم ریاضی، قانونمند کردن تجربیات طبیعی است که در گیاهان و بقیه مخلوقات مشاهده می‌کنیم . علوم ریاضیات این تجربیات را دسته‌بندی و قانونمند کرده و همچنین توسعه می‌دهند.»
دکتر ریاضی استاد ریاضی نیز در معرفی این علم می‌گوید: «ریاضیات علم مدل‌دهی به سایر علوم است. یعنی زبان مشترک نظریات علمی سایر علوم ، علم ریاضی می‌باشد و امروزه اگر علمی را نتوان به زبان ریاضی بیان کرد، علم نمی‌باشد.»

ریاضیات بر خلاف تصور بعضی از افراد یکسری فرمول و قواعد نیست که همیشه و در همه‌جا بتوان از آن استفاده کرد بلکه ریاضیات درست فهمیدن صورت مساله و درست فکر کردن برای رسیدن به جواب است و برای به دست آوردن این توانایی ، دانشجو باید صبر و پشتکار لازم را داشته باشد تا بتواند حتی به مدت چندین ساعت در مورد یک مساله ریاضی فکر کرده و در نهایت با ابتکار و خلاقیت آن را حل کند.

معرفی گرایش های ریاضی:

ریاضیات هنری است باستانی واز همان آغاز از جمله ذهنی ترین و در عین حال علمی ترین تلاشهای آدمی بوده است. یعنی از همان ۱۸۰۰سال پیش از میلاد که بابلیها در زمینه خواص تجریدی اعداد به پژوهش پرداختند، ریاضیات در کنار جنبه های ادراکی نظری ،به صورت ابزار که هر روز برای مساحی زمین، دریانوردی وساختن بناهای بزرگ مورد نیاز بود،به کار میرفت.

امروزه نیز به همین منوال است وشاید به همین دلیل ما در رشته ریاضی با دو گزایش ریاضی محض وکاربردی روبهرو هستیم.اما آیا میتوان این دو گرایش را به طور کامل از یکدیگر مجزا کرد؟آیا میتوان گفت که ریاضی محض تنها یک فعالیت ذهنی است وهیچ کاربردی ندارد و در کنار آن ریاضی کاربردی، کاربرد ریاضیات را در علوم وفنون مختلف بررسی میکند وآیا طبق نظر «هارولدهاردی» ریاضیدان بزرگ انگلیسی، تنها باید به خاطر زیبایی ریاضیات ( ریاضیات محض ) به آن پرداخت واین علم هیچ ارزش علمی ندارد ؟

باید گفت که امروزه چنین دیدگاهی قابل قبول نیست بلکه به اعتقاد ریاضیدانها حتی ذهنی ترین حوزه های ریاضیات مثل هندسه، نظریه اعداد ومنطق نیز اهمیت علمی بسیاری دارد وبه همین دلیل نبباید ریاضیات را به دو گرایش محض وکاربردی تقسیم کرد.

ویژگی ها و توانمندی های لازم برای موفقیت در رشته ریاضی:

ریاضیدان، کاشف متهور ناشناخته ها است. عاشقی است که با شوری فراوان پا در وادی ناشناخته ها میگذارد وبا تلاشی تحسین بر انگیز وبه کمک ابزا رهایی که در اختیار دارد ، تاریکیهای راه را روشن کرده وراه را برای دیگران هموار میسازد.به همین دلیل یک ریاضیدان قبل از هر چیز باید جرات قدم گذاری در وادی ناشناخته ها را داشته باشد. همچنبن باید با صبرو حوصله زیاد وابتکار وخلاقیت مسائل وقضایای دانش ریاضی راحل کند.

چرا ریاضیات می خوانیم؟
چرا باید ریاضیات بخوانیم؟راجر بیکن، فیلسوف انگلیسی در سال ۱۲۶۷ میلادی پاسخ این سوال را این چنین داده است: «کسی که این کار را نکند نمی تواند چیزی از بقیه علوم و هر آن چه در این جهان هست بفهمد . . . چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمی دانند به جهالت خودشان پی نمی برند و در نتیجه در پی چاره جویی برنمی آیند.» می توانم همین جا سخن را پایان دهم اما ممکن است بعضی ها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد.

شاهدی تازه می آورم، پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی، معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی ای را پایه ریزی می کنید نباید به هیچ شهود فیزیکی اعتماد کنید. پس به چه چیزی اعتماد کنید؟ به گفته این فیزیکدان مشهور، فقط به برنامه ای متکی بر ریاضیات ولو این که در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد.در حقیقت، در فیزیک تمامی ایده های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن کنار گذاشته اند در حالی که الگوهای ریاضی ای که به زرادخانه های فیزیکدان ها راه یافته اند به تدریج معنای فیزیکی یافته اند. در این جاست که قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ می

نمایاند. بنابراین الگو سازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است .
موریس کلاین می نویسد: یونانی های قدیم واقعیت های دنیای اطراف خود را با علم ریاضیات منطبق می دیدند و حقیقت نمایی طرح کیهان را در ریاضیات می یافتند. آن ها بین قانون های طبیعت و قانون های ریاضی شباهت هایی را احساس می کردند که اکنون یکی از پایه های اساسی علوم را تشکیل می دهد. بعدها یونانی ها در شناخت طبیعت پیشتر رفتند و اعتقاد استواری پیدا کردند که جهان بر اساس قانون های ریاضی طراحی شده و

دستگاه کنترل شده ای است، از قانون هایی پیروی می کند و برای بشر قابل درک است.
دست آخر این که ریاضیات موسیقی ذهن است پس باید آن را نواخت.
اعداد صحیح
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.
پرش به: ناوبری, جستجو
مجموعهٔ اعداد صحیح به اجتماع مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی ، و {۰} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.
شاخه‌ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد ن

ام دارد.
[ویرایش] خواص جبری
همانند اعداد طبیعی، نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.
برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند:)
جمع ضرب
بسته بودن:
a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری:
a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض پذیری:
a + b = b + a a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد:

a + 0 = a a × ۱ = a
وجود یک عنصر عکس:
a + (−a) = 0
توزیع پذیری:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه‌های صفر:
اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0
مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.
در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.

مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

مقدمه

یکی از کهن‌ترین و در ضمن اساسی‌ترین مفهومها در ریاضیات، مفهوم عدد مثبت و درست ، یعنی مفهوم عدد طبیعی است و تا زمانی که انسان وجود دارد، از اهمیت این مفهوم چیزی کم نمی‌شود. مفهوم عدد هم ، همچون همه مفهوم‌های دیگر ریاضیات ، در جریان برخورد انسان با طبیعت و در جریان کار و فعالیت انسان برای زندگی اقوام گرفته است.

از زمانهای کهن تا سده نوزدهم میلادی ، بسیاری از نویسندگان ، اختراع عدد را به یک نابغه و فیلسوف بزرگ یا در جایی به جز قلمرو انسان نسبت می‌دادند. این جمله کرونیکر ، دانشمند بزرگ جبر مشهور است که: به جز عددهای طبیعی که ساخته ذهن بشر نیست، بقیه عددها را انسان آفریده است. برخلاف نظر کرونیکر عددهای طبیعی هم ، نتیجه‌ای از کار عملی و ذهنی انسان است.

منشا پیدایش عدد

نوشته‌های قدیمی ریاضی ، کم و بیش تا سده هیجدهم ، اختراع عدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی یا فیثاغورس حکیم ، نابغه یونان باستان و غیره نسبت می‌دادند. از جمله ماگنیتسکی نویسنده نخستین کتابهای درسی در روسیه ، در کتاب خود به نام حساب از فیثاغورس به عنوان مخترع و پایه گذار این دانش نام می‌برد . در افسانه‌های زیبای یونانی باستان ، اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است.

مدرکهای پیدایش شمارش و عدد

به این ترتیب دانش ناچار است برای نتیجه گیری ، از مدرکهای غیر مستقیم استفاده کنند. پیش از همه باید از نژاد شناسی نام برد. زیرا با بررسی فرهنگهای ملتهایی که در دوران پیش از تاریخ به سر می‌برند، می‌توان درباره دوره‌های تکامل ملتهای دیگر هم داوری کرد. سرچشمه دیگر پژوهش ، زبان است که نه تنها وسیله بستگی انسانها به دیگر است، بلکه بازمانده‌ای از فعالیتهای معنوی قدمهای کهن هم باشد. در زبان و در ویژگیهای دستوری آن ، آگاهیهای گرانبهایی نگهداری شده است که تا اندازه‌ای ، به روش شمردن مردم آن زمان ، و این که چگونه به شمارش امروزی رسیده‌ایم، راهنمایی می‌کند.

با اینهمه ، آگاهیهایی که بوسیله جهانگردان در جریان سده‌های 18و 19 جمع‌آوری شده است، اهمیت زیادی درباره تاریخ دانش دارد و زمینه اصلی کار را برای ترسیم طرح تاریخی وپیدایش مفهوم عدد درست در اختیار ما می‌گذارد. روشن شده است که بسیاری از قبیله‌ها ، می‌توانستند حساب کنند بدون این که نامهای ویژه ای برای عددها داشته باشند. بنابر آگاهیهایی که بوسیله ایاسماپار کاشف معروف قطب (1790-1855) به ما رسیده است، در آن زمان ، اسکیموها ، اگر بیش از سه فرزند داشتند، نمی‌توانستند آنها را بشمارند. با وجود این ، اگر یکی از فرزندانشان غایب بود، متوجه می‌شدند. یعنی بدون این که برای هر کدام از آنها ، نشان ویژه جداگانه‌ای داشته باشند، می‌توانستند حساب آنها را نگه دارند.

در این مرحله از تکامل ، عدد به خودی خود و به عنوان یک مفهوم مستقل درک نمی‌شود، بلکه همراه با سایر ویژگیها است و به کیفیت چیزهایی مربوط می‌شود که مجموعه را تشکیل داده‌اند. طبیعی است، شمردن چیزها و مقایسه تعداد عضوهای مجموعه‌های مختلف ، کار دشواری است. آگاهیهای پراکنده‌ای که در نوشته‌های مولفان تمدنهای نخستین وجود دارد، این ادعا را ثابت می‌کند که عمل شمارش برای قومهای اولیه ، مساله بغرنجی بوده است که هر وقت به آن می‌پرداختند، برایشان بی‌اندازه خسته کننده و ملال‌آور بود.

نمونه‌های جالبی از پیدایش عدد در طول تاریخ

ک.شتای نن جهانگرد و نژاد شناس ، نمونه جالبی در این باره نقل می‌کند. او حدود سالهای هشتاد سده نوزدهم ، در عمق جنگلهای آمازون ، به قبیله باکاایر برخورد که از نظر تکامل ، در سطح پایینی بودند. او بارها از بومیان خواسته بود ده دانه بشمارند. آنها به کندی ، ولی درست ، تا شش دانه را می‌شمردند ولی برای شمردن دانه‌های هفتم و هشتم با ناراحتی متوقف می‌شدند، نشاط خود را از دست می‌دادند، هاج و واج به دور و بر خود نگاه می‌کردند، از دردسری که گرفتارشان کرده بود، غرغر می‌کردند سرانجام هم یا از پاسخ طفره می‌رفتند و یا پا به فرار می‌گذاشتند.

میکلوخو- ماکلای ، درباره عدد شماری بومیان گینه نو می‌نویسد: بومیان روش جالبی برای شمردن دارند. آنها انگشتان خود را یکی پس از دیگری می‌بندند و صدای معینی را تکرار می‌کنند وقتی به پنج می‌رسند، می‌گویند دست. بعد ، آغاز به بستن انگشتان دست دیگر خود می‌کنند... تا به دو دست برسند... و برای 15 یک پا و برای 20 دوپا. اگر لازم باشد باز هم بعد از آن را بشمارند، از انگشتان دست و پای دیگری استفاده می‌کنند. می‌بینیم، مهارت در شمردن مربوط به وجود نام ویژه‌ای برای عددها یا وجود نمادهایی برای رقمها نیست.

شکل گرفتن عددها را باید از مرحله‌های بالای تکامل شمار دانست. مدتها پیش از آن که نامهای ویژه‌ای برای عددها پیدا شود، برای بیان تعداد چیزها، نام هایی وجود داشت. معلوم شده است نزد برخی از قبیله‌های آفریقایی ، برای هر یک از حالتهای 3 گاو ، 3 درخت ، 3 جنگ و غیره نام ویژه ای دارند. یا برخی از قبیله های غرب کانادا که نامی برای عدد 3 ندارند، برای 3 چیز از نامهای استفاده می کنند. تخه ، سه چیز ،تخانه ، سه برگ. بومیان فلوریدا برای 10 تخم مرغ می‌گویند نانگوآ و برای 10 سبد نا-بانارا. ولی بطور جداگانه برای عدد 10 (که به چیز مقید نباشد) از واژه نا استفاده نمی کنند و برای عدد 10 هیچ واژه ای ندارند.

نویسنده ضد دوریگلند در این باره می گوید: مفهوم های عدد و شکل، از جایی جز جهان واقعی ، گرفته نشده است. ده انگشت که انسان شمردن، یعنی نخستین عمل حساب را روی آنها یاد گرفت، همه چیز هست جز محصولی که زاییده اندیشه خالص باشد. برای شمردن، نه تنها باید چیزهایی داشته باشیم که آن را بشماریم. بلکه باید این استعداد را هم داشته باشیم که ضمن بررسی این چیزها ، هر ویژگی دیگری جز شمار را از آن جدا کنیم و این استعداد هم در نتیجه تکامل تاریخی طولانی که متکی بر تجربه باشد بدست می‌آید.

چگونه يك مقاله علمي بنويسيم؟

قسمت اول

این اصول برای تمام علوم اعم از انسانی ، فنی مهندسی ، پزشکی ، هنر قابل استفاده است.

مقدمه

مقاله علمي معمولاً در نتيجه پژوهش منطقي، ژرف و متمركز نظري، عملي يا مختلط، به كوشش يك يا چند نفر در يك موضوع تازه و با رويكردي جديد با جهت دستيابي به نتايجي تازه، تهيه و منتشر مي‏گردد. (اعتماد و همكاران، 1381، ص2) چنين مقاله‏اي در واقع گزارشي است كه محقق از يافته‏هاي علمي و نتايج اقدامات پژوهشي خود براي استفاده ساير پژوهشگران، متخصصان و علاقه‏مندان به دست مي‏دهد.

تهيه گزارش از نتايج مطالعات و پژوهش‏هاي انجام شده، يكي از مهم‏ترين مراحل پژوهشگري به شمار مي‏رود؛ زيرا اگر پژوهشگر نتواند دستاوردهاي علمي خود را در اختيار ساير محققان قرار دهد، پژوهش او هر اندازه هم كه مهم باشد، به پيشرفت علم كمكي نخواهد كرد؛ چون رشد و گسترش هر عملي از طريق ارائه و به هم پيوستن دانشِ فراهم آمده از سوي فردفرد انديشمندان آن علم تحقق مي‏يابد.

همان طور كه پژوهشگر پيش از اقدام به پژوهش، نيازمند توجه و بررسي يافته‏هاي علمي پژوهشگران قبل از خود است تا بتواند يافته‏هاي علمي خود را گسترش بخشد، ديگران نيز بايد بتوانند به يافته‏هاي پژوهشي او دسترسي پيدا كنند و با استفاده از آنها فعاليت‏هاي علمي خود را سازمان داده، در ترميم و تكميل آن بكوشند.

از امتيازهاي مهم يك مقاله مي‏توان به مختصر ومفيد بودن، بِروز بودن و جامع بودن آن اشاره كرد؛ زيرا محقق مي‏تواند حاصل چندين ساله پژوهش خود در يك رساله، پايان‏نامه، پژوهش، يا حتي يك كتاب را به اختصار در يك مقاله علمي بيان كند تا پژوهشگران ديگر بتوانند با مطالعه آن مقاله از كليات آن آگاهي يابند و در صورت نياز بيشتر، به اصل آن تحقيقات مراجعه كنند.

بدين منظور، امروزه نشريات گوناگوني در زمينه‏هاي مختلف علمي- پژوهشي نشر مي‏يابد و مقاله‏هاي به چاپ رسيده در آنها، اطلاعات فراواني را در اختيار دانش پژوهان قرار مي‏دهند. لازم است محققان با شيوه تدوين مقالات علمي آشنا باشند تا بتوانند با استفاده از شيوه‏هاي صحيح، با سهولت، نتايج تحقيقات و مطالعات خود را به صورت مقاله در اختيار علاقه‏مندان قرار دهند.

نوشتن مقاله مستلزم رعايت اصولي در ابعاد مختلف محتوايي، ساختاري و نگارشي است.

ملاك‏هاي محتوايي مقاله

يكي از مهم‏ترين ابعاد مقاله علمي، محتواي علمي و ارزشمنديِ كيفي آن است. مقاله بايد يافته‏هاي مهمي را در دانش بشر گزارش نمايد و داراي پيامي آشكار باشد؛ بنابراين پيش از تهيه مقاله، محقق بايد از خود بپرسد كه آيا مطالب او آن‏قدر مهم است كه انتشار آن قابل توجيه باشد. آيا ديگران از آن بهره خواهند برد؟ و آيا نتايج پژوهش او، كار آنها را تحت تأثير قرار خواهد داد؟ (هومن، 1378، ص 82). در اينجا به چندين اصل مهم از اصول و معيارهاي محتوايي پژوهش علمي اشاره مي‏گردد كه توجه به آنها قبل از تهيه مقاله به ارتقاي كيفيت آن كمك مي‏نمايد.

فرايند «تفكر»: تفكر، تلاش براي معلوم كردن مجهول با استفاده از علوم موجود است. (غرويان، 1368، ص11) بنابراين اساسي‏ترين محور محتوايي يك پژوهش علمي، آن است كه مجهولي را روشن نمايد. بر اين اساس، هر پژوهش علمي در پي پاسخ دادن به پرسش‏هايي است كه تاكنون براي مخاطبان كشف نشده است. از اين رو پژوهش علمي هميشه با طرح يك يا چند سئوال آغاز مي‏شود كه محقق در صدد پاسخگويي به آنهاست.

منطقي بودن: منطق كه راه درست انديشيدن (تصور) و صحيح استدلال آوردن (تصديق) را مي‏آموزاند، (مطهري، 1372، ص 21) ابزار ضروري يك مقاله علمي است و محقق بايد شايستگي لازم را در استدلال آوردن، تحليل محتوا و نتيجه‏گيري داشته باشد. قواعد تعريف، طبقه‏بندي، استنباط‏هاي قياسي و استقرايي، روش‏هاي مختلف نمونه‏برداري و غيره همه از ويژگي‏هاي منطقي يك مقاله علمي است كه محقق بايد به آنها توجه داشته باشد. (هومن، 1374، ص 19).

انسجام و نظام‏دار بودن: مرتبط بودن اجزاي مختلف مقاله با همديگر، همچنين متناسب بودن آنها با عنوان مقاله و ارتباط عناوين فرعي با همديگر، از جمله مواردي است كه به تحقيق، يكپارچگي و انسجام مي‏بخشد. بر اين اساس، محقق بايد عناوين فرعي مقاله خود را با نظمي منطقي از يكديگر مجزا كرده، ارتباط بخش‏ها را مشخص نمايد.

تراكمي بودن: از آنجا كه هدف پژوهش پاسخ به سئوال هايي است كه تا آن زمان دست كم از نظر محقق، پاسخي منطقي براي آن وجود نداشته است، هر پژوهش علمي بايد از يك سو به منظور كشف دانش جديد، و از سوي ديگر، براي تكميل دانش، صورت پذيرد. بنابراين هدف اصلي يك مقاله، كشف يا تكميل دانش بشري است، نه تكرار دوباره آن با عبارات مختلف. (هومن، 1374، ص 20).

تناسب موضوع با نيازهاي فعلي جامعه علمي: هر پژوهش علمي بايد نيازهاي اساسي جامعه علمي خود را در نظر گرفته، در صدد حل آن مسايل برآيد؛ بنابراين از طرح موضوعاتي كه از اولويت تحقيقي برخوردار نيستند و جامعه علمي، بدانها نياز ندارد، بايد احتراز نمود.

خلاقيت و نوآوري: هر تحقيق علمي زماني مي‏تواند در ارتقاي سطح دانش، موفق و موثر باشد كه از فكري بديع و خلّاق برخوردار باشد. مقالاتي كه به جمع آوري صِرف بسنده مي‏كنند، نمي‏توانند سهم عمده‏اي در پيشرفت دانش بشري داشته باشند.

توضيح مطلب در حدّ ضرورت: از جمله مواردي كه محقق در گزارش نويسي پژوهش خود (مقاله) بايد بدان توجه كند، پرهيز از حاشيه‏روي و زياده‏گوييِ افراطي است؛ همچنان كه خلاصه‏گويي نبايد به حدّي باشد كه به ابهام و ايهام منجر شود؛ بر اين اساس محقق بايد به حدّي مطالب را تبيين كند كه مقصود وي براي خواننده، روشن شود.

متناسب بودن با نظريه‏ها: هر رشته علمي، متشكل از نظريه‏ها و قوانيني است كه مورد اتفاق صاحب‏نظران آن فن است. يافته‏هاي به دست آمده در تحقيقات ميداني يا توصيفي نبايد با قوانين كلي آن رشته تخصصي منافات داشته باشد.

اجتناب از كلي گويي: هدف نهايي علم، صورتبندي يك «نظريه»(3) و «تبيين كردن»(4) يكي از اصول مهم نظريه است. (دلاور، 1371، ص 33) از اين رو محقق بايد بتواند مباحث علمي خود را به روشني توضيح دهد و با زبان گويا آن را تبيين و از كلي گويي اجتناب نمايد.

گزارش روش‏شناسي تحقيق: «تحقيق»(5) فرايندي است كه از طريق آن مي‏توان درباره ناشناخته‏ها به جست و جو پرداخت و از آن، شناخت لازم را كسب كرد. در اين فرايند چگونگي گردآوري شواهد و تبديل آنها به يافته‏ها «روش‏شناسي»(6) ناميده مي‏شود. اين سئوال كه چگونه داده‏ها بايد گردآوري شود و مورد تفسير قرار گيرد، به طوري كه ابهام حاصل از آنها به حداقل ممكن كاهش يابد؟» از موارد مهم تحقيق علمي است. (سرمد و همكاران، 1379، ص 22). يك تحقيق علمي زماني مي‏تواند مطالب خود را به اثبات برساند كه از روش گردآوري مناسبي برخوردار، و آن روش‏ها در مقاله به خوبي بيان شده باشد.

ساختار مقاله علمي

نوشتن مقاله مستلزم داشتن طرحي مدوَّن است. در گزارش يك تحقيق نه تنها بايد ارزش‏هاي محتوايي را مراعات كرد، بلكه بايد از ساختار روشمندي نيز پيروي كرد. امروزه تحقيقات فراواني انجام مي‏شود، اما تنها بخش كوچكي از آنها در مقالات منتشر مي‏گردد. يكي از دلايل آن، عدم مهارت محقق در تهيه و تدوين ساختاري مقاله علمي است.

ساختار مقاله و تهيه گزارش از يك پژوهش علمي، با توجه به روش به كار گرفته شده در پژوهش، متفاوت است. دانشمندان در يك تقسيم بندي كلي، روش‏هاي استفاده شده در علوم را به دو دسته تقسيم مي‏كنند. روش‏هاي كمي كه در آنها از داده‏هاي كمّي در تحقيق استفاده مي‏شود (تحقيقات ميداني) و روش‏هاي كيفي كه در آنها از داده‏هاي كيفي (تحقيقات كتابخانه‏اي) استفاده مي‏شود.(سرمد و همكاران، 1379، ص 78).

مراحل گزارش يك پژوهش (مقاله) با توجه به روش اتخاذ شده در تحقيق، با تفاوت هايي بيان مي‏گردد.

به دليل يكسان بودن هر دو روش در مراحل مقدماتي، و براي پرهيز از تكرار در اينجا مراحل مقدماتي را به صورت مجزا مي‏آوريم.

مراحل مقدماتي گزارش پژوهشي

موضوع يا عنوان مقاله

عنوان، مفهوم اصلي مقاله را نشان مي‏دهد و بايد به طور خلاصه، مضمون اصلي پژوهش را نشان دهد.

عنوان مقاله بايد جذاب باشد، يعني به گونه‏اي انتخاب شود كه نظر خوانندگان را كه معمولاً ابتدا فهرست عناوين مندرج در يك مجله علمي را مي‏خوانند به خود جلب نمايد. همچنين عنوان بايد كوتاه و گويا و تنها بيانگر متغيرهاي اصلي پژوهش باشد. تعداد كلمات در عنوان را حداكثر دوازده واژه بيان كرده‏اند. (سيف، 1375، ص 12).

نام مؤلف يا مؤلفان و سازمان وابسته

بعد از عنوان پژوهش، نام مؤلف يا مؤلفان ذكر مي‏شود و در سطر زير آن، نام دانشگاه يا مؤسسه كه هر يك از مؤلفان در آن مشغول به كارند، مي‏آيد. اگر پژوهش به وسيله دو يا چند نفر انجام بگيرد و همه آنها به يك دانشگاه يا مؤسسه وابسته باشند، نام مؤسسه يك‏بار، آن هم به دنبال نام مؤلفان ذكر مي‏شود. اما اگر هر يك از مؤلفان به سازمان خاصي وابسته باشند، بايد بعد از نام هر يك از آنان، بلافاصله نام مؤسسه‏اي كه به آن وابسته‏اند، ذكر شود. ترتيب قرار گرفتن نام مؤلفان به دنبال يكديگر، معمولاً متناسب با ميزان مشاركت آنان در انجام پژوهش است؛ اما اگر ميزان مشاركت همه افراد در اجراي پژوهش يكسان باشد، اسامي آنان به ترتيب حروف الفبا در دنبال هم قرار مي‏گيرد. (هومن، 1378، ص 84).

چكيده

چكيده، خلاصه جامعي از محتواي يك گزارش پژوهشي است كه همه مراحل و اجراي اصلي پژوهش را در خود دارد. هدف‏ها، پرسش‏ها، روش‏ها، يافته‏ها و نتايج پژوهش، به اختصار، در چكيده آورده مي‏شود. در متنِ چكيده بايد از ذكر هرگونه توضيح اضافي خودداري شود. مطالب چكيده بايد فقط به صورت گزارش (بدون ارزشيابي و نقد) از زبان خود پژوهشگر (نه نقل قول) به صورت فعل ماضي تهيه شود.

چكيده در حقيقت بخشي كامل، جامع و مستقل از اصل گزارش در نظر گرفته مي‏شود و نبايد پيش از انجام گزارش، پژوهش تهيه شود. طول چكيده براي مقاله، بستگي به روش‏هاي خاص هر مجله دارد و معمولاً بين صد تا 150كلمه پيشنهاد شده است.

واژگان كليدي

معمولاً در انتهاي چكيده، واژگان كليدي پژوهش را بيان مي‏كنند تا به خواننده كمك كنند، پس از خواندن چكيده و آشنايي اجمالي با روند تحقيق، بفهمد چه مفاهيم و موضوعاتي در اين مقاله مورد توجه قرار گرفته است. معمولاً با توجه به حجم و محتواي مقاله، پنج تا هفت واژه كليدي در هر مقاله بيان مي‏شود. (سرمد، 1379، ص 321).

ساختار مقاله مبتني بر پژوهش ميداني

روش‏ها و اصول كلي ناظر بر گزارش فعاليت پژوهشي شاخه‏هاي علوم، تقريبا به طور خاصي به كار مي‏روند كه همگي متكي بر «روش علمي»(9) است. انجمن روان شناسان (APA) به منظور تسهيل در امر انتقال روش نتايج پژوهش، الگوي استاندارد شده‏اي را در اختيار مؤلفان قرار داده تا در موقع تهيه گزارش پژوهشي خود، آن اصول را به كار گيرند و تقريبا همه مجله‏هاي معتبر علوم انساني در تهيه و تنظيم نوشته‏هاي پژوهش خود از آنها پيروي مي‏كنند. (هومن،1378،ص 10) كه در زير به اختصار به مراحل آن اشاره مي‏گردد.

مقدمه

هر مقاله علمي با يك مقدمه شروع مي‏شود و آن، خلاصه‏اي از فصل اول و دوم پايان نامه‏ها و رساله‏هاست كه به طور مختصر به بيان كليات تحقيق و بررسي مختصري از پيشينه آن مي‏پردازد؛ بنابراين در مقدمه مقاله مسئله تحقيق و ضرورت انجام آن و اهداف آن از نظر بنيادي و كاربردي به صورت مختصر بيان مي‏گردد و سپس به بررسي سوابق پژوهشي كه به طور مستقيم به موضوع تحقيق مرتبط است، پرداخته مي‏شود. مقدمه بايد يك منطق اساسي را در تحقيق بيان كند و به خواننده نشان دهد كه چرا اين تحقيق ادامه منطقي گزارش‏هاي پيشين است. در اين بخش پس از نتيجه‏گيري از پژوهش‏هاي بررسي شده، محقق بايد پرسش‏هاي پژوهش خود را به صورت استفهامي بيان كرده و به تعريف متغيرهاي تحقيق به صورت عملياتي بپردازد. (هومن، 1378، ص 87).

روش

هدف اساسي از بيان روش آن است كه به گونه‏اي دقيق، چگونگي انجام پژوهش، گزارش گردد تا خواننده بتواند آن را تكرار نمايد و همچنين درباره اعتبار نتايج داوري كند؛ بنابراين مؤلف بايد همه مراحل اجرا، از جمله آزمودني‏ها، ابزارهاي پژوهش، طرح پژوهش، روش اجرا و روش تحليل داده‏ها را بيان كند.

نتايج

در اين بخش، توصيف كلاميِ مختصر و مفيدي از آنچه به دست آمده‏است، ارائه مي‏شود. اين توصيف كلامي با اطلاعات آماري مورد استفاده، كامل مي‏شود و بهترين روش آن است كه داده‏ها از طريق شكل و نمودار يا جدول، نمايش داده شوند. ساختار بخش نتايج، معمولاً مبتني بر ترتيب منطقي پرسش‏ها يا فرضيه‏ها و نيز وابسته به تأييد شده بودن يا تأييد نشده بودن فرضيه‏هاست. ترتيب بيان نتايج نيز يا برحسب ترتيب تنطيم سؤال‏ها يا فرضيه‏هاي آنهااست، (سيف، 1375، ص 30) يا برحسب اهميت آنها. روش متداولِ بيان نتايج، آن است كه ابتدا مهم‏ترين و جالب‏ترين يافته‏ها و سپس به ترتيب، يافته‏هاي كم اهميت‏تر ارائه مي‏شود. (هومن، 1378، ص 90).

ساختار مقاله مبتني بر پژوهش توصيفي

اصول به كارگرفته شده در پژوهش‏هاي توصيفي باتوجه به روش‏هاي به كارگرفته شده، با اصول پژوهش‏هاي ميداني، مقداري متفاوت است. هر چند اين اصول ممكن است با توجه به موضوع‏هاي مختلف تحقيقي و رشته‏هاي مختلف، تغيير نمايد، ساختار كلي‏اي كه تقريبا همه پژوهش‏هاي توصيفي بايد در قالب آن درآيند، به شرح زير است.

مقدمه

آنچه در مقدمه يك مقاله تحقيق كتابخانه‏اي قرارمي‏گيرد - همانند تحقيفات ميداني - كلياتي است كه محقق بايد قبل از شروع بحث، آن را براي خواننده روشن نمايد؛ مانند تعريف و بيان مسئله تحقيق، تبيين ضرورت انجام آن و اهدافي كه اين تحقيق به دنبال دارد. همچنين محقق بايد خلاصه‏اي از سابقه بحث را - كه به طور مستقيم مرتبط با موضوع است - بيان كند و در نهايت توضيح دهد كه اين مقاله به دنبال كشف يا به دست‏آوردن چه مسئله‏اي است؛ به عبارتي، مجهولات يا سؤال‏هاي مورد نظر چيست كه اين مقاله درصدد بيان آنهااست.

طرح بحث (متن)

در اين بخش، مؤلف وارد اصل مسئله مي‏شود. در اينجا بايد با توجه به موضوعي كه مقاله در پي تحقيق آن است، عناوين فرعي‏تر از هم متمايز گردند. محقق در تبيين اين قسمت از بحث، بايد اصول مهم قواعد محتوايي مقاله را مورد توجه قراردهد و سعي كند آنها را مراعات نمايد؛ اصولي مانند: منطقي و مستدل بودن، منظم و منسجم‏بودن، تناسب بحث با عنوان اصلي، ارتباط منطقي بين عناوين فرعي‏تر در مسئله، خلاقيت و نوآوري در محتوا، اجتناب از كلي‏گويي، مستندبودن بحث به نظريه‏هاي علمي و ديني، جلوگيري از حاشيه‏روي افراطي كه به انحراف بحث از مسير اصلي مي‏انجامد و موجب خستگي خواننده مي‏شود و همچنين پرهيز از خلاصه‏گويي و موجزگويي تفريطي كه به ابهام در فهم مي‏انجامد، رعايت امانت حقوق مؤلفان، اجتناب از استناددادن به صورت افراطي، توجه‏داشتن به ابعاد مختلف مسئله و امثال اينها.

نتيجه ‏گيري

در اين قسمت محقق بايد به نتيجه معقول، منطقي و مستدل برسد. نداشتن تعصب و سوگيري غيرمنصفانه در نتيجه‏گيري، ارتباط‏دادن نتايج با مباحث مطرح شده در پيشينه، ارائه راهبردها و پيشنهادهايي براي تحقيقات آينده، مشخص‏كردن نقش نتايج در پيشبرد علوم بنيادي و كاربردي و امثال آن، از جمله مواردي است كه محقق بايد به آنهاتوجه داشته باشد.

ارجاعات

اعتبار يك گزارش پژوهشي علاوه بر صحت و دقت داده‏ها و استدلال حاصل از آنها، به منابع و مراجعي است كه از اطلاعات آنها در پژوهش استفاده شده است. ارجاعات از موارد مهم ساختار يك مقاله علمي است، به وسيله آن، چگونگي استفاده از انديشه‏هاي ديگران را به خواننده معرفي مي‏نمايد. در اين قسمت به دو بحث مهم ارجاعات اشاره مي‏شود كه يكي شيوه ارجاع دادن در متن است و ديگري شيوه ذكر منابع در پايان مقاله.

ارجاعات در متن

نخستين چيزي كه درباره استناددادن در متن بايد مشخص بشود، اين است كه: چه چيزي بايد مستند گردد؟ مك برني(23) (1990) موارد استنادآوردن را به شرح زير بيان داشته‏ است:

بايد انديشه‏هايي را كه به ديگران تعلق دارند، مشخص كرد و با ذكر مأخذ نشان داد كه از آنِ چه كساني مي‏باشند (امانت‏داري)؛

هر زمان كه افكار و انديشه‏هايي با چهارچوب فكري كسان ديگري همخواني دارند، موارد را بايد با ذكر منبع مشخص كرد؛

هر زمان كه نظريه، روش يا داده‏اي موردبحث قرار مي‏گيرد، منبع آن را بايد ذكركرد تا اگر خواننده خواست اطلاعات بيشتري درباره آن كسب كند، بتواند به آن مراجعه كند؛

بايد نقل قول‏هايي را كه از يك متن به صورت مستقيم و بدون دخل و تصرف، داخل گيومه آورده مي‏شود، مستند ساخت. (مك برني 1990، به نقل از سيف، 1375، ص 39).

بنابراين اطلاعاتي كه براي خوانندگان، اطلاعات عمومي به حساب مي‏آيند، لازم نيست مستند شوند. نويسنده، تنها در صورتي مي‏تواند به آثار خود ارجاع، دهد كه اين ارجاع براي مطالعه بيشتر باشد و نقل از خود، معنا ندارد. همچنين در استنادكردن، حتي‏الامكان بايد به منبع مستقيم يا ترجمه آن استناد كرد. تنها زماني به منابع ديگران استناد مي‏شود كه محقق دسترسي مستقيم به اصل اثر را نداشته باشد كه در آن صورت بايد مشخص كرد كه آن مطلب از يك منبع دست دوم گرفته شده است. (سيف، 1375، ص 40).

شيوه ارجاع در متن

هرگاه در متنِ مقاله مطلبي از يك كتاب يا مجله يا.. به صورت مستقيم يا غير مستقيم، نقل شود، بايد پس از بيان مطلب، آن را مستند ساخت. اين مستندسازي شيوه‏هاي مختلفي دارد كه در اينجا به بخش‏هايي از آن اشاره مي‏شود.

در استناد، نام مؤلف و صاحب اثر، بدون القاب «آقا»، «خانم»، «استاد»، «دكتر»، «پروفسور»،آورده مي‏شود، مگر در جايي كه لقب جزو نام مشخص شده باشد(24)، مانند خواجه نصيرالدين طوسي. (دهنوي، 1377، ص 89).

يك اثر با يك مؤلف:

پس از آوردن متن، داخل پرانتز: نام مؤلف، تاريخ انتشار، شماره صفحه به ترتيب مي‏آيد و پس از آن، نقطه آورده مي‏شود؛ مانند: (منطقي، 1382، ص 27).


يك اثر با بيش از يك مؤلف:

اگر تأليف داراي دو يا سه مؤلف باشد، نام آنها به ترتيب ذكر شده در اثر، به همراه سال انتشار و شماره صفحه مي‏آيد؛ ولي در آثار با بيش از سه مؤلف، نام اولين مؤلف ذكر مي‏شود و به دنبال آن عبارتِ «و همكاران» و سپس سال انتشار و شماره صفحه مي‏آيد؛ مانند: (سرمد، بازرگان و حجازي، 1379، ص 50) يا (نوربخش و همكاران، 1346، ص 75).


آثار با نام سازمان‏ها و نهادها:

در صورتي كه آثار به نام شركت‏ها، انجمن‏ها، مؤسسات، ادارات و مانند اينها انتشار يابند، در استنادكردن، به جاي نام مؤلف، نام سازمان مي‏آيد؛ مانند: (فرهنگستان زبان و ادبيات فارسي، 1382، ص 34).


دو يا چند اثر يك مؤلف:

هرگاه به دو يا چند اثر مهم اشاره شود، همه آنها در داخل پرانتز، و به ترتيب تاريخ نشر پشت سرهم مي‏آيند؛ مانند: (والاس، 1980، ص 15؛ 1988، ص 27؛ 1990، ص 5). و اگر چند اثر يك مؤلف در يك سال منتشر شده باشد، آثار مختلف او با حروف الفبا از هم متمايز مي‏گردند؛ مانند: (احمدي، 1365الف، ص22؛ 1365ب، ص 16).

زيرنويس (پاورقی) توضيحی

توضيحات اضافي، يا توضيح اصطلاحاتي را كه نويسنده براي حفظ انسجام متن نمي‏تواند آن را در متن بياورد، مي‏توان در زير صفحه با مشخص‏كردن شماره آنها بيان كرد. نكته قابل توجه اينكه، اين توضيحات بايد حتي‏الامكان خلاصه ذكر شوند و نبايد تكرار مطالب متن باشند.

در ترجمه متون توضيحاتي كه مؤلف در زيرنويس آورده، بايد عينا ترجمه شود و در صورتي كه مترجم براي بيان اصطلاح يا تبيين مطلبي توضيحي را ضروري ببيند، مي‏تواند آن را در پاورقي ذكركند و در جلوي آن لفظ «مترجم» را -براي متمايز ساختن آن از توضيحات

معادل‏ها

كلمه‏هاي بيگانه در داخل متن حتما بايد به فارسي نوشته شود و صورت خارجي آنها در پاورقي ذكر گردد و اين، منحصر به اصطلاحات تخصصي يا اسامي اشخاص است. چنانچه در موارد خاصي لازم باشد كه صورت خارجي آنها در داخل متن بيايد، بايد آنها را مقابل صورت فارسي در داخل پرانتز نوشت. (غلامحسين‏زاده، 1372، ص 17).

نكته قابل‏توجه در استناد دادن معادل‏ها اين است كه اولاً در هر متن يا مقاله يا كتاب، فقط يك بار معادل انگليسي آنها آورده مي‏شود؛ ثانيا معادل‏هاي بكار گرفته شده بايد يكنواخت باشند. و در صورت آوردن معادل‏هاي ديگر، مثل فرانسه، آلماني، و... بايد، در متن توضيحي درباره آن داده شود. در نوشتن اسامي اشخاص، ابتدا نام بزرگ، سپس حرف اول نام كوچك او با حروف بزرگ نوشته مي‏شود مانند C،Jung .

ارجاع در منابع

محقق بايد در پايان مقاله فهرستي از منابع و مراجعي كه در متن به آنها استناد كرده است، به ترتيب حروف الفباي نام خانوادگي در منابع فارسي (عربي يا انگليسي در صورت استفاده) بياورد. مقصود از فهرست منابع، به دست دادنِ صورت دقيق و كامل همه مراجعي است كه در متن مقاله به آنها استناد شده‏است. هدف از ارائه اين فهرست، نشان دادن ميزان تلاش پژوهشگر در بررسي و استفاده از منابع گوناگون، احترام به حقوق ساير نويسندگان و مؤلفان و نيز راحتي دستيابي خواننده به منابع موردنظر است؛ علاوه براينكه تمامي مراجع و مآخذي كه در متن به آنها استناد شده، بايد در فهرست منابع آورده شود، پس در بخش منابع، فقط منابعي آورده مي‏شود كه در متن به آنها استناد شده است.

در ذكر هر منبع، حداقل پنج دسته اطلاعات، ضروري به نظر مي‏رسند كه در همه ارجاعات مشترك‏اند:

1. نام مؤلف يا مؤلفان؛ 2. تاريخ انتشار اثر؛ 3.عنوان اثر؛ 4. نام شهر(ايالت)؛ 5. نام ناشر.

جداسازی اين اطلاعات از هم با نقطه (.) و جداسازي اجزاي مختلف هر يك از آنها با ويرگول (،) صورت مي‏گيرد.

ارجاع كتاب در منابع

در ارجاع كتاب با يك مؤلف، اطلاعات ضروري ذكر شده در بالا ذكر مي‏شود، در صورتي كه اثر تجديدچاپ شده‏باشد، پس از عنوانِ كتاب، شماره چاپ آن مي‏آيد.

در ارجاعات انگليسي در صورتي كه چاپ جديد مجددا ويرايش شده‏باشد، علامتِ اي‏دي (ed) با شماره ويرايش(25) آن، داخل پرانتز آورده مي‏شود، مانند:

.Wadsworth:CA،Belmont.An introduction to the history of psychology (2nded).(1993) .R .B،Hergenhahn

در ارجاع منابع داراي دو مؤلف يا بيشتر، اسامي مؤلفان به ترتيبِ نامِ ذكرشده در كتاب، ذكر مي‏شود و بين نام‏خانوادگي و نام آنها ويرگول و بين اسامي مؤلفان نقطه ويرگول (؛) مي‏آيد؛ مانند:

سرمد،زهره؛ بازرگان،عباس و حجازي، زهره(1379). روش‏هاي تحقيق در علوم رفتاري (چاپ سوم). تهران: نشر آگاه.

در معرفي كتاب‏هاي ترجمه شده، پس از ذكر نام مؤلف و تاريخ اثر، نام مترجم و تاريخ انتشار ترجمه ذكر مي‏شود. در آثاري كه تاريخ نشرشان مشخص نيست، داخل پرانتز به جاي تاريخ نشر، علامت سؤال (؟) مي‏آيد؛ مانند:

صدرالدين شيرازي، محمد(1375). شواهد الربوبيه، ترجمه جواد مصلح. چاپ دوم، تهران: انتشارات سروش.

در معرفي كتاب‏هايي كه با عنوان سازمان‏ها يا نهادها منتشر شده‏اند، به جاي نام اشخاص، نام مراكز ذكر مي‏شوند: مركز اسناد و مدارك علمي، وزارت آموزش و پرورش، (1362). واژه‏نامه آموزش و پرورش: فارسي - انگليسي، انگليسي - فارسي. تهران. نشر مؤلف.

كتاب‏هايي كه به جاي مؤلف، ويراستاري يا به صورت مجموعه مقالاتي بوده كه به وسيله افراد مختلف نوشته شده‏است؛ اما يك يا چند نفر آنها را گردآوري كرده‏اند، بدين صورت مي‏آيند:

شفيع‏آبادي، عبداللّه‏ (گردآورنده)، (1374). مجموعه مقالات اولين سمينار راهنمايي و مشاوره. تهران. انتشارات دانشگاه علامه طباطبايي.

ارجاع مقاله در منابع

براي ارجاع به مقاله‏هايي كه در مجله‏هاي علمي-تخصصي به چاپ مي‏رسند، ابتدا نام مؤلف يا مؤلفان، پس از آن، تاريخ انتشار اثر، بعد عنوان مقاله، و به دنبال آن، نام مجله و شماره آن ذكر مي‏شود، سپس شماره صفحات آن مقاله در آن مجله با حروف مخفف صص در فارسي و pp در انگليسي آورده مي‏شود.

ارجاع پايان‏نامه و رساله در منابع

در ارجاع رساله‏ها و پايان‏نامه‏ها، پس از ذكر عنوان، بايد ذكرشود كه آن منبع پايان‏نامه كارشناسي ارشد يا رساله دكترا و به صورت چاپ نشده، است؛ سپس بايد نام دانشگاهي را كه مؤلف در آن فارغ‏التحصيل شده‏است، آورد:

ايزدپناه، عباس (1371). مباني معرفتي مشّاء و اهل عرفان، پايان‏نامه كارشناسي ارشد، چاپ نشده دانشگاه قم.

ارجاع از يك روزنامه در منابع

در معرفي مقاله‏هايي كه در خبرنامه‏ها و روزنامه‏ها به چاپ مي‏رسد، يا استنادهايي كه از متن سخنراني اشخاص در يك روزنامه آورده مي‏شود، همانند ارجاع مقاله در مجله، تمام اطلاعات ضروري را آورده سپس سال انتشار، روز و ماه، نام روزنامه و شماره صفحه را ذكر مي‏كند. مانند:

محقق كجيدي، محمدكاظم (1375، 21مهر)، موانع ساختاري توسعه بخش كشاورزي، روزنامه كيهان، ص6.

ارجاع فرهنگ‏نامه و دائره‏المعارف در منابع

در ارجاع دائره‏المعارف‏ها نام سرپرست آورده شده و سپس بقيه اطلاعات ضروري، همانند كتاب به ترتيب مي‏آيد؛ مانند:

بجنوردي، سيدكاظم و همكاران (1377)، دائره‏المعارف بزرگ اسلامي (چاپ دوم)، تهران: مركز دائره‏المعارف بزرگ اسلامي.

ارجاع كنفرانس‏ها، سمينارها و گزارش‏ها

ارائه گزارش از همايش‏ها و سمينارها بايد به شكل زير بيان گردد: (سلطاني، 1363، ص19).

همايش بين‏المللي نقش دين در بهداشت و روان (1380). چكيده مقالات اولين همايش بين المللي نقش دين در بهداشت روان، تهران: دانشگاه علوم پزشكي ايران.

نقل منابع الكترونيكي (اينترنت)

امروزه نقل از منابع اينترنتي يكي از منابع ارجاع است كه در ذكر آن، اطلاعات ضروري به ترتيب زير بيان مي‏گردد (ترابيان، 1987، ترجمه قنبري، 1380).

بارلو، جان پي (1996). درخت يوشع مي‏لرزد، در مجله CORE (روي خط اينترنت)، ج8، ش 1، (1992)، نقل شده تاريخ 25 مارس 1996، قابل دسترسي در:

Corel.08.g2.:pub/Zines/CORE-Zine File:Ptp.etext.org Directory


منبع : http://www.applyabroad.org

 

☢یک میلیون = 1.000.000
(million)
☢یک بیلیون=1.000.000.000
(billion)
☢یک تریلیون=1.000.000.000.000
(trillion)
☢یک کادریلیون = 1.000.000.000.000.000
(quadrillion)
☢یک کنتیلیون = 1.000.000.000.000.000.000
(quintillion)
☢ یک سکستیلیون=1.000.000.000.000.000.000.000
(sixtillion)
☢یک سپتیلیون = 1.000.000.000.000.000.000.000.000
(septillion)
☢یک اکتیلیون = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000
(octillion)
☢یک نونیلیون = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
(nonillion)
☢یک دسیلیون = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
(decillion)

☢یک گوگل (google ) : یعنی عدد 1 به همراه 100 صفر جلوی ان.عددی بسیار بزرگ که از تعداد تمام الکترون های موجود در زمین هم بیشتر است.

مریم میرزاخانی، ریاضیدان

نشان فیلدز سال ۲۰۱۴ به مریم میرزاخانی، استاد ریاضیات پوهنتون استنفورد تعلق گرفت. از سال ۱۳۱۵ که جایزه با معتبر فیلدز برای قدردانی از ریاضیدانان در نظرگرفته شد، این اولین بار است که یک زن این جایزه را از آن خود می کند.

خانم میرزاخانی، درباره دریافت جایزه گفت " این افتخاری بزرگ برای من است. خوشحال می شوم اگر این جایزه مشوقی باشد برای دانشمندان و ریاضیدانان زن جوان. اطمینان دارم که زنان بسیاری در سال های آینده این جایزه را از آن خود خواهند کرد."

نشان فیلد که عنوان رسمی آن "مدال بین المللی برای کشفیات برجسته در ریاضی" است، روز چهارشنبه ۲۲١٣ اگست در کنگره اتحادیه بین المللی ریاضیات به مریم میرزاخانی داده می شود.

میزبان مراسم امسال، شهر سیول کوریای جنوبی است. خانم میرزاخانی بعد از پاول کوهن، دومین استاد پوهنتون استنفورد است که نشان فیلد را دریافت می کند. پاول کوهن در سال ۱۳۴۵ این جایزه را از آن خود کرده بود.

تحقیقات خانم میرزاخانی در زمینۀ هندسه و سیستم های دینامیک، به ویژه کمک وی به درک بهتر سطوح منحنی همچون کره، سطح دونات و اجسام هذلولی جایزه امسال را نصیب او کرد.

هرچند ساحۀ کار خانم میرزاخانی "ریاضیات محض" عمدتاً تیوری است، در فزیک و تیوری کوانتوم هم تجربه دارد.

مریم میرزاخانی در تهران زاده و بزرگ شده است. در آوان کودکی رویای نویسنده شدن را در سر داشت. اما در دوران تحصیل اشتیاق به حل مسائل ریاضی اثبات قضیه های ریاضی و هندسه نظرش را عوض کرد.

دنیای ریاضیات هنگامی با نام مریم میرزاخانی آشنا شد که او در سال های ۱۳۷۳ و ۱۳۷۴ دوبار پیاپی در المپیک بین المللی ریاضی مدال طلا را به دست آورد.

خانم میرزاخانی در مسابقه سال ۱۳۷۴ نمره کامل را کسب کرد. او در سال ۱۳۷۸ مدرک کارشناسی ریاضیات را از دانشگاه صنعتی شریف به دست آورده و سپس به پوهنتون هاروارد رفت و تحت راهنمایی کرتیس مک مولن – که خود از برندگان نشان فیلد بود – دکترای ریاضی اش را حاصل کرد

#ریاضیات_عشق
قلب جادوی ریاضی تا ابد جای تو بود
همه قانون حساب زیر قدم های تو بود
این منم شاگرد تنبل در کلاس عشق تو
چون همیشه در کلاسم جای درس های تو بود
ساعت اول ریاضی فهندسه ، یک کشف ناب
هندسه معجزه جای قدمهای تو بود
تو جهانی و جهان پیش تو زیر خط کسر
حتی مجموع جهانی عضو اعضای تو بود
اجتماع من به تو جای اعضای تو بود
اشتراک بین ما یک صفر تنهای تو بود
فصل دستگاه های مختصاتی در یک کلام
فاصله از قلب من تا خط چشمهای تو بود
تابع سینوس با یک بازی بی انتها
چون نماد کوچکی از موج موهای تو بود
شادی ات بی انتها غصه ات مشتق پذیر
قدر مطلق قفس توری غم های تو بود
حد مطلق ،بی انتها ،پیش تو یک اپسیلون
بی نهایت مثل صفر چون که منهای تو بود
باز هم تجدید از درس ریاضی وقت درس
چشم هایم جای درس محو تماشای تو بود

#نائبی

قواعد بخش پذیری بر اعداد 1 تا 20

1. همه ی اعداد بر يک بخش پذير هستند.
2. عددی بر 2 بخش پذير است که رقم يکانش بر 2 بخش پذير باشد.
3. عددی بر 3 بخش پذير است که مجموع ارقامش بر 3 بخش پذير باشد.

4. عددی بر 4 بخش پذیر است که رقم یکان به اضافه ی 2 برابر رقم دهگان آن بر 4 بخش پذیر باشد.

(عددی بر 4 بخش پذیر است که دو رقم سمت راست آن بر 4 بخش پذیر باشد .)
5. عددی بر ۵ بخش پذير است که رقم يکانش بر ۵ بخش پذير باشد.
6. عددی بر 6 بخش پذیر است که بر2 و3 بخش پذیر باشد.
7. عددی بر 7 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، حاصل بر7 بخش پذیر باشد.
8. عددی بر 8 بخش پذیر است که رقم یکان به اضافه 2 برابررقم دهگان به اضافه ی 4 برابر رقم صدگان آن بر 8 بخش پذیر باشد.


(عددی بر 8 بخش پذیر است که سه رقم سمت راست آن بر 8 بخش پذیر باشد.)
9. عددی بر 9 بخش پذيراست که مجموع ارقامش بر9 بخش پذير باشد.
10. عددی بر 10 بخش پذیر است که رقم یکان آن صفر باشد.
11. عددی بر 11 بخش پذیر است که اگر ارقام آن را یک در میان به دو دسته تقسیم کنیم و مجموع ارقام هر دسته را به دست آوریم و سپس دو عدد به دست آمده را از هم کم کنیم عدد حاصل بر 11 بخش پذیر باشد.
12. عددی بر 12 بخش پذیر است که بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.
13. عددی بر 13 بخش پذیر است که اگر 4 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر 13 بخش پذیر باشد.
14. عددی بر 14 بخش پذیر است که بر 2 و 7 بخش پذیر باشد.
15. عددی بر 1۵ بخش پذیر است که بر 3 و 5 بخش پذیر باشد.
16. عددی بر 16 بخش پذیر است که چهار رقم سمت راست آن بر 16 بخش پذیر باشد .
17. عددی بر 17 بخش پذیر است که اگر 5 برابر رقم یکان را از عددی که از حذف یکان به دست آمده کم کنیم، عدد بر 17 بخش پذیر باشد.
مثال: عدد 221 بر 17 بخش پذیر است زیرا: 22-(5x1)=17
18. عددی بر 18 بخش پذیر است که بر 2 و 9 بخش پذیر باشد.
19. عددی بر 19 بخش پذیر است که اگر 2 برابر رقم یکان آن را با عددی که از حذف یکان به دست آمده جمع کنیم، حاصل بر 19 بخش پذیرباشد.
مثال: عدد 437 بر 19 بخش پذیر است زیرا 57 بر 19 بخش پذیر است: 43+(2x7)=57
20. عددی بر 20 بخش پذیر است که دو رقم آخر بر 10 بخش پذیر باشد و رقم دهگان زوج باشد.
(عددی که دو رقم آخر آن بر 20 بخشپذیر باشد.)

اعداد اول مرسن اعداد اولی از نوع1-2^n هستند.

در ریاضی سنت شده است که اعداد بصورت M(n) = 2n − 1 را به مناسبت نام کشیش فرانسوی مارین مرسن (Marin Mersenne) ، اعداد مرسن نامیده می شود. چرا که مرسن در زمینه ی اول بودن این نوع اعداد اظهار نظری نادرست اما محرک کرده بود. اولین اعداد مرسن اعداد زیر هستند: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 2147483647 و ... که متناظر هستند با ... ,89 ,61 ,31 ,19 ,17 ,13 ,7 ,5 ,3 ,2 =n

    اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه  

قضیه1: اگر Mn اول باشد, n نیز باید خود اول باشد. اثبات: فرض کنیم که حکم نادرست است(برهان خلف) یعنی به ازای n مرکبی, 2n − 1 اول است؛ در این صورت, می توان n را به صورت ضرب دو عدد غیر یک n = rs نوشت؛ پس:

پس اگر s زوج باشد, طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبق اتحاد چاق و لاغر (لاگرانژ) به عوامل اول تجزیه می شود و اول نیست؛ پس به تناقض می رسیم و n باید اول باشد.

اعداد مرسن واعداد کامل

بدیهی است که اعداد مرسن به صورت 2n-1, در مبنای دو به صورت است که برابر است ( n تا یک دارد). تعریف: عدد کامل عددی است که با مجموع مقسوم علیه های خود, به جز خودش, برابر باشد؛ معروفترین آنها : 6=3+2+1 و 28=14+7+4+2+1 هستند

قضیه2: هر عدد کامل به صورت (2n − 1)(2n − 1) است که 2n − 1 اول است. این ها اعداد به شکل 2n − 1 مرسن هستند و متعاقباً توان های آن ها اول است. پس با یافتن هر عدد کامل, می توان یک عدد مرسن جدید پیدا کرد.

آزمایش لوکاس- لمر

تقسیم آزمایشی اکثراً برای تصدیق مرکب بودن یک عدد مرسن اول پنهان استفاده می شود. این آزمایش, فوراً نشان می دهد که Mp به ازای p=11,23,83,131,179,191,239,251 مرکب است (به ترتیب با عوامل اول 23, 47, 167, 263, 359, 383, 479 و 503).

یک آزمایش بسیار قدرتمند اولیه برای شناسایی Mp آزمایش لوکاس- لمر است:

ابتدا سه قضیه زیر را مطرح می کنیم:

1. اگر به پیمانه 4 و n اول باشد, در این صورت 2n+1 | Mn , اگر 2n+1 اول باشد.

2. همچنین این درست است که عوامل اول 2p − 1 باید شکل 2kp+1 داشته باشند که k یک عدد مثبت طبیعی است و در عین حال شکل 8n+1 یا 8n-1 را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت 1939).

3. یک عامل اول p از یک عدد مرسن Mp = 2p − 1 (چه اول و چه مرکب), در صورتی عدد ویفریچ اول است که p2 | 2p − 1 . بنابراین, یک عدد مرسن نمی تواند عدد ویفریچ اول باشد.

 آیا عدد کامل فرد وجود دارد؟ 

می دانیم تمام اعداد کامل, به صورت حاصل ضرب یک عدد اول مرسن توانی از دو می باشند؛ اما در مورد اعداد فرد کامل چه نظریه ای وجود دارد؟ اگر اینچنین عدید وجود داسته باشد, در این صورت, به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در یک عدد اول به توان فرد می باشد, این عدد بر حداقل هشت عدد اول بخش پذیر است و حداقل 37 عامل اول دارد (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری 300 رقم دارد؛ و یک مقسوم علیه اول بزرگ تر از 1020 دارد.

آیا تعداد اعداد مرسن بی نهایت است؟

این سوال معادل با پاسخ دادن به این سوال است که آیا تعداد نا محدودی عدد کامل زوج است.جواب این است که احتمالاً بله (زیرا سری هارمونیک وا گراست).

آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی نهایت است؟

نظریه اولر: اگر k>1 باشد و p = 4k+3 اول باشد, در این صورت p2 | 2p − 1 نیز اول است, اگر و تنها اگر باقی مانده تقسیم 2p بر p2 | 2p − 1برابر 1 باشد.

همچنین اگر p = 4k+3 باشد و p2 | 2p − 1اول باشد, در این صورت عدد مرسن p2 | 2p − 1 مرکب است (این حدس احتمالاً منطقی است از آن جایی که که تعداد اعداد اولی که به ازای p به صورت 2p+1 باشد, بی نهایت است).

حدس جدید در باره ی اعداد مرسن 

بیتمن, سلفریج و واگستاف, حدس زیر را زده اند: فرض کنیم p هر عدد طبیعی فرد باشد؛ در این صورت اگر دو شرط اول - که در زیر آمده است- برقرار باشد, گزاره سوم برقرار خواهد بود:

1. p = 2k + / − 1,p = 4k + / − 3

2. عددی اول است.

3. p = 2k + / − 1 عدد اول باشد (بدیهی است که عدد مرسن اول است.).

توجه داشته باشید که این حدس چگونه به حدس قبلی وابسته است.

این سؤال بیشتر از این که یک حدس باشد، از دسته سؤال های جواب داده نشده است .به راحتی می توان نشان داد که اگر مربع عدد اول p بر یک عدد مرسن تقسیم شود, در این صورت p یک عدد اول ویفریچ است و این اعداد کمیاب هستند! فقط دو عدد شناخته شده اند که زیر 4,000,000,000,000 هستند و هیچ کدام از این مربع ها بر یک عدد مرسن بخش پذیر نیستند.

اگر دنباله ای به این صورت باشد که و A0 = 2 , آیا همه این دنباله اول هستند؟ دیکـسون کاتـالان, در پاسخ این سؤال در سال 1876, به لوکاس اظهـار داشــت که 1-2127(A4 ), به این ترتیب اول است. همان طور که مشخص است این اعداد در این دنباله بسیار سریع, بزرگ می شوند:

C0 = 2 (اول)

C1 = 3 (اول)

C2 = 7 (اول)

C3 = 127 (اول)

C4 = 170141183460469231731687303715884105727 (اول)

C5 > 1051217599719369681879879723386331576246 (سوال:آیا این عدد اول است؟)

به نظر می آید احتمال این موضوع خیلی کم باشد که A5 (یا چند عدد بزرگ تر از این دنباله) اول باشدبدون شک این مثال دیگری از «قانون قوی عددهای کوچک» Guy، است. دقت کنید که اگر یک عدد زوج و مرکب در این دنباله پیدا شود, طبق نظریه اول, تمام اعداد بعدی مرکب خواهند بود.

تاریخچه

درسال 1963 کشف شد که ۱-۱۲۱۱۲۱۳ اول است, و این به وسیله بسته های پستی مخصوص ساخته شده با مُهرِ فرستاده شده از یوبرانا, ایلینیوس اعلام شد. یک شبکه تحقیقاتی توزیع شده در اینترنت توسط ولتمن به پا شده است که به GIMPS( Great Internet Mersenne Prime Search) معروف است و و داوطلبان بیشمار آن, از کامپیوترهای شخصی خود برای انجام دادن قسمت های مختلفی از تحقیقات استفاده می کنند. در 17 نوامبر 2003, یکی از داوطلبان GIMPS کشف چهلمین عدد مرسن را گزارش داد و این موضوع، پس از آن تأیید شد. شش ماه پس از آن،کشف چهل و یکمین عدد مرسن توسط یکی از داوطلبان این شبکه به ثبت رسید. عدد بعدی مرسن در این سری نیز در 18 فوریه 2005 اعلام شد. تلاش های داوطلبان GIMP، این پروژه محاسباتی توزیع شده را تبدیل به کاشف هشت عدد بزرگ تر اعداد مرسن نمود. در واقعیت, تا فوریه همین سال, شرکت کنندگان GIMPS, تمام توان های قبل از 9,889,900 را امتحان کردند و حتی دو بار چک کردند و همه توان های پایین تر از 15,130,000 را دست کم یک بار امتحان کردند.

«هیپاتیا؛ دختر خورشید فرزند زمین»

براستی چگونه می توان باور داشت در قرن چهارم میلادی و در زمانی که جهل و غفلت جامعه و زنان و مردان یونان را دربرداشت؛ دختری جوان به نام هیپاتیا پیدا شود و شهرتی جهانگیر بیابد؟ براستی این هیپاتیا که بود؟؟؟

گروه ادبیات، نشر و رسانه، به تازگی کتابی با نام«هیپاتیا؛ دختر خورشید فرزند زمین» به قلم بهرنگ داوری به رشتۀ تحریر درآمده که به زندگی بانو هیپاتیا، ریاضی دان، فیلسوف و منجم برجستۀ یوانیِ قرن چهارم میلادی می پردازد.

به گزارش بولتن نیوز، هرچند پاک نمودن گرد فراموشی از این چهرۀ نامدار کار بی حاصلی نیست؛ زنانی که اگر نبودند، ریاضیات امروز تفاوتی بسیاری با آنچه اکنون هست، داشت.

در تاريخ از بانو هيپاتيا به عنوان رياضی دان و فیلسوف، منجم و ... یاد شده است. او يکی از قهرمانانی که جان بر سر عقايد و آرای خود نهاده بود. 

براستی چگونه می توان باور داشت در قرن چهارم میلادی و در زمانی که جهل و غفلت جامعه و زنان و مردان یونان را دربرداشت؛ دختری جوان به نام هیپاتیا پیدا شود و شهرتی جهانگیر بیابد؟ براستی این هیپاتیا که بود؟؟؟ اگر شما هم جز کسانی هستید که فکر می کنید، ما در تاریخ بشریت فیلسوف و ریاضیدان زن نداشتیم...! پس حتماً کتاب «هیپاتیا؛ دختر خورشید فرزند زمین» را بخوانید.

ناگفته نماند که این کتاب باتوجه به اینکه نخستین رمان ریاضی از سرگذشت هیپاتیاست، منبع اطلاعاتی موثقی برای مطالعه دربارۀ بانو هیپاتیا به حساب می آید.

پیش از این نیز بهرنگ داودی تالیفاتی در زمینۀ ریاضیات و ... داشته که از آن جمله می توان به کتاب «محاسبات ذهنی برق آسای ریاضی» که توسط انتشاران «راز نهان» به طبع رسیده، اشاره کرد.

این کتاب دربارۀ همه روش های ضرب برای سنین 9 تا 90 سال است و به گفته نویسنده موردتایید اساتید ریاضی دانشکده های ریاضی شریف و شهید بهشتی و... هم قرار گرفته است.

جلد اول «علوم جامع ضرب» با عنوان «محاسبات ذهنی برق آسای ریاضی»، کتابی است که روش های میان بری برای ضرب کردن اعداد به مخاطب ارائه می دهد و کار او را در محاسبات ذهنی آسان تر می کند. 

نویسنده در مقدمه کتاب می نویسد: «...ریاضیات به مردم قدرت می دهد تا بهتر تصمیم بگیرند. ریاضیات هم علم است و هم هنر، علم به آن معنی که کشف می کند و هنر بدان معنی که می آفریند... یکی از زیباترین دانش های بشری دانش ریاضیات است. کتاب در 4 بخش تدوین شده است. بخش نخست که به نام فصل صفرم و کلید واژه کتاب است و در فصل یکم به معرفی اعداد همچنین ضریهای برق آسا می پردازد و درباره عدد یک، دو، چهار، پنج، شش، و... توضیح می دهد. از این رو، این کتاب سعی داشته روش های محاسبات ذهنی ریاضی که با نام روش های برق آسای ذهنی ریاضی را با توجه به شیوه های موجود از دانشمندانی همچون جمشید کاشانی، شیخ بهایی و پرفسور تراختنبرگ و... موردبررسی قراردهد.» 

از دیدگاه نویسنده، صحبت از ریاضی یعنی صحبت از راز و رمز زندگی و گفتگو دربارۀ اصول و قوانینی که زندگی متمدن امروزه و تکنولوژی پیچیده و صنایع غول پیکر و رایانه های قدرتمندی که می روند جای انسان را بگیرند، حاصل آن قوانین و اصول هستند. 

کتاب با قیمت 7هزار تومان منتشر شده است. 

و  اما هیپاتیا
هیپاتیا، زنی یونانی است که به عنوان نخستین زن برجستهٔ ریاضی‌دان شناخته می‌شود. او يکی ازقهرمانانی است که جان خود را برسر عقايد و آرای خود ازدست داد.

هيپاتيا در سال ۳۷۰ ميلادی درخانواده ای رياضيدان زاده شد. پدرش تئون از ریاضی‌دانان مشهور و استاد دانشگاه اسکندریه بود. اسکندریه در آن زمان یکی از مراکز بزرگ علمی-فرهنگی جهان محسوب می‌شد و دارای کتابخانه ای غنی و پربار بود. هيپاتيا ریاضیات و فلسفه را تحت تعالیم  پدر آموخت و با استعداد فوق العاده ای که داشت به عنوان مشهورترين رياضيدان زن درميان دانشمندان يونان باستان ازيک سو و نيز نخستين رياضيدان زن ازسوی ديگر شناخته شد. هيپاتيا علاوه بر رياضيات به فلسفه نيز می پرداخت. او پيرو افلاطون بود و فعالانه نظريه‌ها و عقايد نئوافلاطونيان را تبليغ می کرد. او همچنين در ورزش‌هایی چون سوارکاری و شنا مهارت داشت. هيپاتيا بيش از ده سال از عمرش را در سفر گذراند و با وجود پیشنهادهای ازدواجی که از جانب شاهزادگان و فلاسفه داشت، هرگز ازدواج نکرد.

به جهت کار و مطالعه گسترده در فلسفه، که حاصل نبوغ گسترده وی بود، از او برای تدریس در دانشگاه اسکندریه در رشته فلسفه و ریاضیات دعوت شد، مقامی که تا آن زمان فقط به مردان تعلق داشت. همه مورخان از محبوبیت عجیب و فراوان هیپاتیا در میان مردم، علما و دانشجویان سخن گفته‌اند. او معلم محبوبی بود و به دليل تبحرش در هنر سخنوری، سخنرانی هايش طرفداران بسياری داشت. افراد بسياری از شهر ها و حتی کشورهای مختلف برای شرکت در کلاس‌های او به اسکندریه می‌آمدند و هنگامی که او برای شاگردانش سخن می گفت مردم حتی درخيابان کنار ساختمان، برای شنيدن سخنانش ازدحام می کردند و گوش به سخنان دل‌انگیزش می‌سپردند.

در آن زمان اسکندریه از مراکز مهم مسیحیت بود و از دید روحانیون، این‌ که یک زن به فلسفه و ریاضیات بپردازد، غیرقابل تحمل بود. در نتيجه هیپاتیا توسط «سیریل» اسقف شهر اسکندریه متهم به جادوگری و توطئه علیه مسیحیت شد. همين بود که دريکی از روزهای ماه مارس ۴۱۵ ميلادی، هنگامی که وی ازکتابخانه مرکزی اسکندريه باز می گشت، گروهی از جمعيت خشمگين و خرافاتی که توسط کليسا تحريک شده بودند، به درشكه اش حمله كردند، وی را از درشکه بيرن کشيده و به طرف کليسای کساريون کشاندند، دستانش را شکستند، بدنش را زير ضربات سخت، خرد کرده و لباس هايش را پاره پاره کردند. سپس با چاقوهای صدفی پوست تنش را کندند و درپايان جسد بی جان اين نماد مقاومت در راه اعتلای دانش و بينش را سوزاندند. نفوذ و قدرت کلیسا در آن زمان مانع پیگرد و مجازات قاتلان هیپاتیا شد ولی تاريخ هميشه به ياد دارد كه چنين بانوی بزرگواری به دليل حقارت، جهالت و تعصب بی‌جای کليسای آن زمان  و توسط افرادی نادان، متعصب و بی خرد كشته شد، افرادی كه بعدها كتابخانه بزرگ و غنی اسكنديه را نيز به آتش كشيدند.

البته کليسای مسيحی تلاش بسیاری کرد تا اين ننگ سراسقف سيريل را پاک نمايد و حتی بعدها هيپاتيا رابه عنوان يك قديسه شهيد معرفی كرد.

هیپاتیا رساله‌های فراوانی در زمینه ریاضیات نوشت که بسیاری از آن‌ها در زمان یورش مردم به معبد سراپیس اسکندریه از بین رفت. او در حل مسائل جبر و هندسه راه‌حل‌های جدیدی ارائه کرد آن‌چنان‌که شناخت مخروط‌ها تا قرن هفدهم از آن‌چه او تدرس می‌کرد پیش‌تر نرفت. او مخترع غلظت سنج است که برای تعیین غلظت مواد حل شده در مایعات به کار می‌رود. همچنين او از نخستین کسانی بود که به وسیله‌ای برای راه‌یابی دریانوردان اندیشید و اسطرلاب(نوعی قطب نما) اختراعی او تا قرن هجدهم مورد استفادهٔ دریانوردان بود.

هاروکا ایوائو کارمند زن شرکت گوگل در ژاپن توانست با محاسبه تا ۳۱ تریلیون عدد اعشار، رکورد محاسبه عدد پی را بشکند. گوگل این خبر را امروز ۱۴ مارس که برابر با روز جهانی عدد پی است منتشر کرد.

خانم آیوائو به بی‌بی‌سی گفت از این که توانسته رکورد این محاسبات را بشکند خیلی غافلگیر شده است و ادامه داد می‌خواهد به این محاسبات ادامه دهد.

خانم آیوائو با استفاده از خدمات ابری شرکت گوگل توانسته این محاسبه را انجام دهد. عدد پی برابر نسبت محیط یک دایره به قطر آن است. عدد پی با سه رقم اول آن ۳/۱۴ شناخته می‌شود و گفته می‌شود ارقام اعشار آن بینهایت است.

این محاسبات نیاز به ۱۷۰ترابایت فضا داشت (برای مقایسه، هر یک ترابایت برابر است با ۲۰۰هزار فایل موسیقی) همچنین ۲۵ دستگاه مجازی در مدت ۱۲۱ روز آن را محاسبه کردند.
BBC
‎🔹 پنج حقیقت جالب در مورد عدد " پی"🔹

‎ عدد مشهور 3.14 یا همان عدد "پی" در پیچیده ترین حالت عددی خواهد بود که تا کنون دو هزار و 700 بیلیون رقم اعشار برای آن محاسبه شده است اما نشریه نیوساینتیست پنج وجه دیگر این عدد را نیز به مناسبت روز عدد پی آشکار کرده است.

‎ریاضیدانان هر سال در 14 مارچ روز عدد پی را گرامی می دارند. روزی که به احترام محاسبه اولین اعشار عدد مشهور 3.14 نامگذاری شده است. شاید همه بدانند که عدد پی نسبت محیط دایره به قطر آن را تعیین می کند اما حقایق ناآشناتری درباره این پدیده ریاضی نیز وجود دارد که در ادامه به پنج مورد از آنها اشاره خواهد شد.

‎عدد پی در آسمان

‎شاید ستاره های آسمان الهام بخش یونانیان باستان بوده اند اما یونانیان هرگز از این نقاط درخشان برای محاسبه عدد پی استفاده نکرده اند. رابرت ماتیوز از دانشگاه استون به منظور انجام این محاسبه اطلاعات نجومی و اخترشناسی را با نظریه اعداد ترکیب کرد. وی از این حقیقت که برای هر مجموعه بزرگ از اعداد اتفاقی احتمال اینکه هر دو عدد با یکدیگر هیچ وجه مشترکی نداشته باشند، عدد 6 تقسیم بر عدد پی به توان دو خواهد بود، استفاده کرد. ماتیوز فاصله فضایی میان 100 نمونه از درخشانترین ستاره های آسمان را محاسبه کرده و آنها را به یک میلیون جفت از اعداد تصادفی تبدیل کرد که در حدود 61 درصد از آنها هیچ وجه اشتراکی با یکدیگر نداشتند. با این مطالعات ماتیوز توانست مقدار عدد پی را تا 3.12772 محاسبه کند که 99.6 درصد صحیح است.

‎عدد "پی" مانند رودخانه ها به زمین باز می گردد

‎عدد پی بر روی زمین نیز فعالیتهایی را به عهده دارد. این عدد می تواند مسیر رودخانه های پیچ در پیچی مانند آمازون را محاسبه کند. میزان پیچ و خم یک رود به واسطه انحراف آن از مسیر مستقیم تا منبع آب رود شرح داده می شود و عدد پی نشان می دهد یک رودخانه متوسط دارای انحراف مسیری در حدود 3.14 است.

‎"پی" تنها عددی است که الهام بخش ادبیات بوده است

‎"الکس بلوز" روزنامه نگار در کتاب جدید خود با نام "ماجراجوییهای الکس در سرزمین اعداد" شرح می دهد چگونه عدد پی توانسته است الهام بخش شکلی از نگارش خلاقانه به نام Pilish شود. با استفاده از این شیوه اشعاری نگاشته می شوند که تعداد حروف واژه های متوالی در آن با کمک عدد پی تعیین می شوند. یکی از مشهورترین اشعاری که به این سبک سروده شده است Cadaeic Cadenza نام دارد که توسط "مایک کیث" نوشته شده است. وی در عین حال کتابی 10 هزار کلمه ای را نیز با کمک این تکنیک نگاشته است.

‎عدد "پی" در اتاق منزل شما

‎جدیدترین محاسبات مقدار عدد پی را تا دو هزار و 700 بیلیون رقم تعیین کرده اند که آخرین آن سال گذشته توسط "فابریس بلارد" انجام گرفته است. وی برای محاسبه این ارقام از رایانه استفاده کرده است اما می توان با کمک چند سوزن و برگه ای کاغذ خط دار نیز این عدد را به راحتی محاسبه کرد. سوزنها را بر روی کاغذ بیاندازید و میزان درصد سقوط سوزنها بر روی یک خط مستقیم را محاسبه کنید. با کمی دقت پاسخ به دست آمده باید طول سوزن تقسیم بر فاصله میان خطوط باشد که در عدد دو تقسیم بر عدد پی ضرب شده باشد. این فرمول پس از ارائه آن توسط "کامت دو بوفون"  ریاضیدان فرانسوی در سال 1733 به "مسئله سوزن بوفون" شهرت یافته است.  این نظریه در سال 1901 برای اولین بار مورد آزمایش "ماریو لازارینی" قرار گرفت و وی برای محاسبه عدد در حدود سه هزار و 408 سوزن را بر روی کاغذ ریخت تا بتواند مقدار عدد پی را تا 3.1415929 به دست آورد.

‎اطلاعات بانکی شما در عدد "پی" دیده می شوند

‎عدد پی عددی بی قاعده است و می تواند برای همیشه امتداد داشته باشد، این به آن معنی است که احتمال یافتن هر نوع عددی در آن وجود خواهد داشت. تاریخ تولد، شماره تلفن و یا حتی جزئیات شماره حسابهای بانکی افراد می توانند خود را در لشگر اعداد و ارقام عدد پی پنهان کرده باشند. در عین حال با استفاده از کدهایی که اعداد را به حروف تبدیل می کند، حتی می توان آثار کامل شکسپیر و یا هر کتاب دیگری که تا کنون نوشته شده است را در میان ارقام عدد پی مشاهده کرد

تغییر شکل یک گردآوری تصادفی مشاهدات عددی یا هندسی به یک سیستم ساخته و پرداخته شده بود. در این سیستم انسان می تواند از یک سلسله حقایق ابتدائی قابل قبول و اعمال منطقی کاربردی پیشرفته، قدم به قدم به اثبات قاطع همه ای جملات درست برسد."ریاضیات مانند یک درخت با ریشه های قوی(اصول) یک تنه محکم (اثبات قاطع) و شاخه های پیوسته در حال رشد با گل های شگفت انگیز (نظریه ها ) است.همه ریاضی دانان بعدی،هندسه دانان،نظریه دانان اعداد، جبر دانانها و تحلیلگران اخیر، تیولوژیست ها، هندسه دانان جبری،نظریه دانان گروه ها وغیره. متخصصان تمام علوم جدید که تا امروز ظهور کردند(شاخه های جدید همان درخت کهن ) هر گز از مسیر پیشگام اصلی خارج نشدند:اصول، اثبات، مستدل و نظریات.

عدد اول بلفیجور، عدد اولی واروخوانه است که به‌‌صورت ۶۶۶ در میان ۱۳ عدد صفر و یک عدد یک در طرفین نوشته می‌شود (اعداد واروخوانه یا جناس قبل، به اعدادی اطلاق می‌‌شود که خواندن آن از دوطرف یکسان باشد). این عدد نحس (یا به‌تعبیری شیطانی) را می‌توان به شکل ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۶۶۶۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۱ نوشت.

کلیف پیکاور، دانشمند و نویسنده‌‌ای بود که این عدد شیطانی را بانام بلفیجور (یکی از دیوهای هفت‌‌گانه‌‌ی دوزخ) نام‌‌گذاری کرد و شهرت فراوانی به آن بخشید.

این عدد ظاهرا نماد شیطانی مختص‌‌به خودش را دارد که شبیه نماد وارونه‌‌ی عدد پی است. مطابق با اطلاعات درج‌شده در وب‌‌سایت Pickover، این نماد از یک نشان دیده‌‌شده در دست‌نوشته‌‌ی مرموز ووینیچ اقتباس شده است. این دست‌‌نوشته‌‌ی مشهور مجموعه‌ای از تصاویر و متون عجیب است که گویی کسی از آن سر در نمی‌‌آورد.

عدد اول بلفیجور، عدد اولی واروخوانه است که به‌‌صورت ۶۶۶ در میان ۱۳ عدد صفر و یک عدد یک در طرفین نوشته می‌شود (اعداد واروخوانه یا جناس قبل، به اعدادی اطلاق می‌‌شود که خواندن آن از دوطرف یکسان باشد). این عدد نحس (یا به‌تعبیری شیطانی) را می‌توان به شکل ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۶۶۶۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۱ نوشت.

کلیف پیکاور، دانشمند و نویسنده‌‌ای بود که این عدد شیطانی را بانام بلفیجور (یکی از دیوهای هفت‌‌گانه‌‌ی دوزخ) نام‌‌گذاری کرد و شهرت فراوانی به آن بخشید.

این عدد ظاهرا نماد شیطانی مختص‌‌به خودش را دارد که شبیه نماد وارونه‌‌ی عدد پی است. مطابق با اطلاعات درج‌شده در وب‌‌سایت Pickover، این نماد از یک نشان دیده‌‌شده در دست‌نوشته‌‌ی مرموز ووینیچ اقتباس شده است. این دست‌‌نوشته‌‌ی مشهور مجموعه‌ای از تصاویر و متون عجیب است که گویی کسی از آن سر در نمی‌‌آورد.

یک عدد چهار رقمی انتخاب کنید. هر عدد چهار رقمی که می‌خواهد باشد، فقط کافی است یکی از ارقامش تکراری نباشد. هر بار در کمتر از هفت مرحله با معمای عجیبی روبه‌رو می‌شوید.

به این عدد نگاه کنید: ۶۱۷۴

در نگاه اول خیلی مهم به نظر نمی‌رسد - اما از سال ۱۹۴۹ به این طرف ذهن ریاضی‌دانان و علاقه‌مندان به اعداد را درگیر خود کرده است.

اما چرا؟

مراحل زیر را به دقت دنبال کنید تا متوجه شوید:

۱. یک عدد چهار رقمی انتخاب کنید، اما حواستان باشد که حداقل یکی از ارقامش نباید تکراری باشد - مثلا ۱۲۳۴

۲. ارقام را به ترتیب از بزرگ به کوچک مرتب کنید: ۴۳۲۱

۳. حالا آن‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب کنید: ۱۲۳۴

۴. عدد کوچک را از عدد بزرگ کم کنید: ۱۲۳۴ - ۴۳۲۱

۵. حالا مرحله ۲، ۳ و ۴ را با جواب این تفریق تکرار کنید.

بگذارید با هم انجام دهیم:

۳۰۸۷ = ۱۲۳۴ - ۴۳۲۱

ارقام را از بزرگ به کوچک مرتب می‌کنیم: ۸۷۳۰

سپس آن‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب می‌کنیم: ۰۳۷۸

بعد عدد کوچک را از عدد بزرگ کم می‌کنیم: ۸۳۵۲ = ۰۳۷۸ - ۸۷۳۰

حالا بیایید این سه مرحله را با این جواب آخر تکرار کنیم. عدد ۸۳۵۲ را در نظر بگیرید.

۶۱۷۴ = ۲۳۵۸ - ۸۵۳۲

و اگر این کار را با ۶۱۷۴ تکرار کنیم - یعنی ابتدا از بزرگ به کوچک و سپس از کوچک به بزرگ مرتب کنیم و سپس عدد کوچک را از عدد بزرگ کم کنیم...

۶۱۷۴ = ۱۴۷۶ - ۷۶۴۱

می‌بینید؟ تکرار مجدد این مراحل از این نقطه به بعد بیهوده است - عملیات مشابه به نتیجه مشابه ختم می‌شود: ۶۱۷۴

خب، شاید فکر کنید تصادفی بوده باشد. بیایید با یک عدد دیگر امتحان کنیم. ۲۰۰۵ چطور است؟

۵۱۷۵ = ۰۰۲۵ - ۵۲۰۰

۵۹۹۴ = ۱۵۵۷ - ۷۵۵۱

۵۳۵۵ = ۴۵۹۹ - ۹۹۵۴

۱۹۹۸ = ۳۵۵۵ - ۵۵۵۳

۸۰۸۲ = ۱۸۹۹ - ۹۹۸۱

۸۵۳۲ = ۰۲۸۸ - ۸۸۲۰

۶۱۷۴ = ۲۳۵۸ - ۸۵۳۲

۶۱۷۴ = ۱۴۶۷ - ۷۶۴۱

انگار فرقی نمی‌کند که کدام عدد چهار رقمی را انتخاب کرده باشید، دیر یا زود بالاخره به عدد ۶۱۷۴ می‌رسید و از آن نقطه به بعد اعمال ریاضی مشابه به نتیجه مشابه ختم می‌شود.

مریم میرزاخانی: زیبایی ریاضیات را به صبر درمی‌یابید

ضربه‌ای که فروشنده را نابغه ریاضی کرد

انتگرال چیست و به چه درد می‌خورد؟

ثابت کاپرکار


حق نشر عکسGETTY IMAGESImage captionکاپرکار عاشق اعداد بود و به شکلی افراطی وقت صرف بازی با آن‌ها می‌کرد - برای همین است که بعضا به او لقب ریاضی‌دان �تفریحی� می‌دهند

تبریک می‌گویم، شما حالا با ثابت کاپرکار آشنا شده‌اید. داتاتریا رامچاندرا کاپرکار (۱۹۸۶ - ۱۹۰۵)، ریاضی‌دان هندی، علاقه زیادی به بازی با اعداد داشت و در جریان همین بازی‌ها بود که زیبایی اسرارآمیز ۶۱۷۴ را کشف کرد.

او که به گفته خودش معتاد تئوری اعداد بود، در جریان یک کنفرانس ریاضی که در سال ۱۹۴۹ در شهر مدرس هند برگزار می‌شد از این کشف پرده‌برداری کرد.

او می‌گفت "فرد دائم‌الخمر می‌خواهد برای حفظ حال خوبش تا ابد شراب بنوشد. وقتی پای اعداد در میان باشد من هم چنین حالی دارم."

او دانش‌آموخته دانشگاه مومبای (بمبئی) بود و در یکی از مدرسه‌های شهر کوچک دولالی که در تپه‌های شمال شهر قرار دارد ریاضی درس می‌داد.

ریاضی‌دانان هندی کارهای او را بی‌اهمیت و بدیهی به حساب می‌آوردند و یافته‌هایش را مسخره می‌کردند و نادیده می‌گرفتند، اما او مقاله‌نویس پرکاری بود که بیشتر در مجلات علمی عامه‌پسند می‌نوشت.

از او در عین حال برای شرکت در کنفرانس‌های مختلف یا سخنرانی در مدرسه‌ها و دانشگاه‌ها دعوت می‌شد تا مشاهدات عددی جذاب و شیوه‌های عجیب خود را با شنوندگان در میان بگذارد.

جوجه را آخر پاییز می‌شمارند


حق نشر عکسGETTY IMAGESImage captionمردم سراسر دنیا کشفیات کاپرکار را می‌شناسند و از آن‌ها لذت می‌برند

ایده‌های کاپرکار به تدریج در داخل و خارج کشور مورد توجه قرار گرفت و مارتین گاردنر، نویسنده موفق آمریکایی و علاقه‌مند به ریاضی، در مجله علمی عامه‌پسند ساینتیفیک آمریکن مقاله‌ای درباره او نوشت.

امروزه کاپرکار و کشفیاتش در سراسر دنیا به رسمیت شناخته می‌شوند و ریاضی‌دانان روی آن‌ها کار می‌کنند - مخصوصا کسانی که مثل او علاقه سیری‌ناپذیری به بازی با اعداد دارند.

یوتاکا نیشی‌یاما، استاد دانشگاه اقتصاد اوساکا، می‌گوید "عدد ۶۱۷۴ عدی واقعا اسرارآمیز است."

او در مقاله‌ای که در مجله اینترنتی پلاس نوشته است چنین توضیح می‌دهد "یک بار با رایانه تمامی اعداد ۴ رقمی را امتحان کرد تا ببیند که آیا همه آن‌ها در چند مرحله محدود به ۶۱۷۴ ختم می‌شوند یا نه."

حتما دوست دارید بدانید که چه نتیجه‌ای گرفت. همه اعداد چهار رقمی که همه رقم‌هایشان یکی نیست، با استفاده از روش کاپرکار در حداکثر ۷ مرحله به عدد ۶۱۷۴ منتهی می‌شوند.

آقای نیشی‌یاما می‌گوید "اگر بعد از هفت بار تکرار روش کاپرکار به عدد ۶۱۷۴ نرسیدید، قطعا در جایی اشتباه کرده‌اید و باید مجددا امتحان کنید!"

اعداد جادویی


Image captionشاید اگر شما هم با اعداد بازی کنید بالاخره به "عدد خاصی" برسید، مثل ۴۹۵

شاید برایتان سوال باشد که چند تا از این "عددهای خاص" هست. راستش جواب درست این است که دقیقا نمی‌دانیم.

اما چیزی که می‌دانیم این است که در اعداد سه رقمی نیز پدیده‌ای شبیه ثابت کاپرکار وجود دارد.

بیایید پیدایش کنیم. در قدم اول یک عدد سه رقمی انتخاب می‌کنیم - مثلا ۵۷۴

۲۹۷ = ۴۵۷ - ۷۵۴

۶۹۳ = ۲۹۷ - ۹۷۲

۵۹۴ = ۳۶۹ - ۹۶۳

۴۹۵ = ۴۵۹ - ۹۵۴

۴۹۵ = ۴۵۹ - ۹۵۴

خب انگار پیدایش کردیم: "عدد جادویی" ما ۴۹۵ است.

ریاضی‌دانان می‌گویند که این ثابت‌ها فقط در اعداد سه یا چهار رقمی اتفاق می‌افتند، اما تا امروز فقط اعداد دو تا ده رقمی را امتحان کرده‌اند.

۶۱۷۴ به تکنی‌کالر


حق نشر عکسGETTY IMAGESImage captionآیا می‌توان ریاضیات را جذاب‌تر کرد؟

بنیاد فناوری سایگرم شرکتی هندی در جنوب مومبای است و ابزار جالبی برای آموزش فناوری اطلاعات در مدرسه‌های روستایی و عشایری طراحی کرده است: بازی با ارقام و رنگ با محوریت عدد ۶۱۷۴.

گیریش آرابالی، بنیان‌گذار این شرکت، به بی‌بی‌سی گفت ایجاد انگیزه در دانش‌آموزان یکی از علائق همیشگی او بوده است، مخصوصا بین آن دسته از دانش‌آموزانی که از ریاضی بدشان می‌آید. هدف او این بود که به آن‌ها نشان دهد که ریاضی می‌تواند عامل سرگرمی هم باشد.
او می‌گوید "ثابت کاپرکار واقعا زیباست. در انتهای مسیر یکی از آن لحظات نابی قرار دارد که انسان را به وجد می‌آورد. روش‌های تدریس سنتی ریاضی معمولا چنین حسی در شما ایجاد نمی‌کنند."


Image captionسفید یعنی صفر عمل، زرد یک عمل و غیره...تا اینکه برسید به قرمز: عددی که بعد از هفت مرحله به ۶۱۷۴ می‌رسد

همین شد که تیم آقای آرابالی تصمیم گرفت تعداد محاسبات لازم برای رسیدن به عدد ۶۱۷۴ را با استفاده از رنگ جدول‌بندی کند. همان‌طور که می‌دانید، محاسبات لازم برای رسیدن به این عدد "جادویی" هرگز بیشتر از هفت تا نمی‌شود.

این الگوریتم مبنای برنامه‌ای شد که به راحتی روی رزبری پای اجرا می‌شود. رزبری پای، یک رایانه ارزان است که ابعادی معادل کارت‌های بانکی دارد و در تدریس علوم، فناوری، مهندسی و ریاضی بسیار استفاده می‌شود.

'رزبری پای' کوچک و کوچک‌تر می‌شود

دانش‌آموزان می‌توانند این برنامه را با استفاده از زبان برنامه‌نویسی ولفرم برای اجرا روی رزبری پای آماده کنند و هر یک از ۱۰ هزار عدد چهار رقمی موجود را بررسی کنند.

این کار به ایجاد الگوهایی رنگی بر اساس تعداد مراحل لازم برای رسیدن به عدد ۶۱۷۴ منجر می‌شود که می‌توان آن‌ها را روی شبکه‌ای چندرنگی به نمایش درآورد.


حق نشر عکسSCIGRAM TECHNOLOGIES FOUNDATIONImage captionالگویی که در حال ظاهر شدن است را می‌بینید؟

به نظر شما، اگر اعداد فرد را با رنگ آبی نشان دهیم و اعداد زوج را با رنگ سبز، با چه صحنه‌ای روبه‌رو می‌شویم؟


حق نشر عکسSCIGRAM TECHNOLOGIES FOUNDATIONImage captionحالا این الگوها را با هم مقایسه کنید: اینجا اعداد فرد را با رنگ آبی نشان داده‌اند و اعداد زوج را با رنگ سبز

اگر اعداد اول را با رنگ سبز نمایش دهیم و بقیه اعداد را با رنگ آبی چه اتفاقی می‌افتد؟ آیا با رنگ‌بندی کاملا متفاوتی روبه‌رو خواهیم شد؟


حق نشر عکسSCIGRAM TECHNOLOGIES FOUNDATIONImage captionاعداد اول سبز شده‌اند و بقیه اعداد هم آبی

ریاضیات تفریحی


حق نشر عکسGETTY IMAGESImage captionشما در هر سنی که باشید می‌توانید با ریاضی بازی کنید

به نظر آقای کاپرکار بازی با اعداد بهترین نوع سرگرمی بود و نقش او در ریاضیات تفریحی تنها به ثابت کاپرکار محدود نمی‌شود.

شاید چیزهایی درباره عدد کاپرکار هم شنیده باشید: عددی مثبت که مجذورش را می‌توان به دو بخش تقسیم کرد و حاصل جمع این دو بخش برابر همان عدد اصلی می‌شود.

به مثال زیر دقت کنید:

۸۸۲۰۹ = ۲۹۷ x ۲۹۷

۲۹۷ = ۲۰۹ ۸۸

مثال‌های دیگری هم برای عدد کاپرکار وجود دارد: ۹، ۴۵، ۵۵، ۹۹، ۷۰۳، ۹۹۹، ۲۲۲۳، ۱۷۳۴۴، ۵۳۸۴۶۱...خودتان امتحان کنید و ببینید چه می‌شود.

یادتان باشد که وقتی می‌خواهید مجذور را به دو بخش تقسیم کنید، تعداد ارقام این دو بخش باید در صورت امکان مساوی باشد: عدد یک رقمی را با عدد یک رقمی جمع بزنید، عدد دو رقمی را با عدد دو رقمی...

اما اگر مجذور به دو بخش با تعداد ارقام مساوی تقسیم نمی‌شود، باید آن را به گونه‌ای تقسیم کنید که به یک عدد دو رقمی و یک عدد سه رقمی برسید. مثل مثال بالا.

به این کاری که شما می‌کنید می‌گویند عمل کاپرکار. شما هم حالا یک ریاضی‌دان تفریحی حرفه‌ای شده‌ای.